一、QP（Quadratic Programming，二次规划）
定义
给定对称矩阵 $Q\in\mathbb{R}^{n\times n}$、向量 $c\in\mathbb{R}^n$，线性约束 $Ax\le b,\ Ex=d$。 二次规划：
\[\min_{x\in\mathbb{R}^n}\ \tfrac12 x^\top Qx + c^\top x \quad \text{s.t.}\quad Ax\le b,\ Ex=d.\]若 $Q\succeq 0$（半正定），这是凸QP，解与算法都很稳定。
极简例（单变量、带区间约束）
\[\min_{x}\ \tfrac12 (x-3)^2 \quad \text{s.t.}\quad 0\le x \le 2.\]解法：先看无约束极小值 $x^\star=3$，但违反约束；把它投影到区间 $[0,2]$ 上，得
\[x^\star=\operatorname{proj}_{[0,2]}(3)=2.\]要点：很多小型接触子步都等价于“把某个向量投影到一个简单集合（区间/球/锥）上”，而凸QP的KKT条件正是这类“投影=互补”关系的另一种表达。
二、NCP（Nonlinear Complementarity Problem，非线性互补问题）
定义
给定连续映射 $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$，求 $x\in\mathbb{R}^n$ 使
\[x\ge 0,\quad f(x)\ge 0,\quad x^\top f(x)=0.\]读作：“$x$ 与 $f(x)$ 互补”，即每个分量 $x_i f_i(x)=0$。
极简例（1D 单边接触的“玩具模型”）
设地面在 $y=0$，小球“受一个线性弹力”逼近地面。用一个标量互补近似地表述接触：
\[\text{求 } \lambda\ge 0 \text{ 使 } g(\lambda)\ge 0,\ \lambda\, g(\lambda)=0, \qquad g(\lambda)=a - b\lambda,\]其中 $g$ 是“间隙”（受 $\lambda$ 影响压缩），$a>0,\ b>0$ 为常数。
求解：两种情况
- 若 $\lambda=0$，则需 $g(0)=a\ge 0$ 成立；
- 若 $\lambda>0$，则需 $g(\lambda)=0\Rightarrow \lambda=a/b$。 综合：$\lambda^\star=\max{0,\ a/b}$，且对应的 $g^\star=\max{a-b\lambda,\,0}=0$。
要点：间隙和支持力互补。
三、CCP（Cone Complementarity Problem，锥互补问题）
定义
把 NCP 的“非负正交”推广到一般闭凸锥 $K$。 求 $x$ 使
\[x\in K,\quad F(x)\in K^\*,\quad \langle x,\,F(x)\rangle=0,\]其中 $K^*$ 为 $K$ 的对偶锥（所有与 $K$ 非负内积的向量集合）。 当 $K=\mathbb{R}^n_+$ 时就退化为 NCP。 在接触-摩擦里，常见的锥是二阶锥（摩擦圆锥）。
物理例（库仑摩擦的切向圆盘）
在某接触点，法向冲量（或力）给定为 $\gamma_n\ge 0$，摩擦系数 $\mu$。 切向变量 $\gamma_T\in\mathbb{R}^2$ 必须满足圆盘约束
\[\|\gamma_T\|\le \mu\,\gamma_n \quad (\text{二维切向；三维情形是圆锥/二阶锥}).\]最大耗散原理给出优化/互补的一阶条件：
\[\gamma_T\in \mathcal{K}_T,\quad v_T + y = 0,\ y\in N_{\mathcal{K}_T}(\gamma_T),\]等价于“把 $-v_T$ 投影到圆盘 $\mathcal{K}_T={|\gamma_T|\le \mu\gamma_n}$ 上”。 显式解（当 $v_T\ne 0$）：
\[\gamma_T^\star = -\,\mu\,\gamma_n\ \frac{v_T}{\|v_T\|}.\]数字例
给 $v_T=(3,-4)$，$|v_T|=5$；取 $\mu=0.5,\ \gamma_n=10$，则 $\mu\gamma_n=5$。 有
\[\gamma_T^\star = -5\cdot \frac{(3,-4)}{5}=(-3,\,4), \quad \|\gamma_T^\star\|=5=\mu\gamma_n.\]解释：摩擦切向量反向对齐于切向速度，且恰在半径 $5$ 的圆盘边界上。
要点：这就是 SOCCP（Second-Order Cone Complementarity Problem） 的基本一格，工程上常用投影算子（一次算一次）或加速投影迭代（APGD/FISTA）来求解大规模问题。
四、DVI（Differential Variational Inequality，微分变分不等式）
定义（动力学 + 互补/锥约束）
设状态 $x(t)$、输入/乘子 $u(t)$。DVI 以“微分规律 + 变分不等式”耦合表示系统：
\[\dot x = f(x,t) + G^\top u,\qquad u\in K,\quad F(x,t,u)\in K^\*,\quad \langle u,\ F(x,t,u)\rangle=0.\]它把非穿透、摩擦、饱和/限幅等“非光滑律”直接融到动态模型里，允许出现速度跳变（冲击）。
教科书例（单刚体+地面接触）
- 状态：位置/速度 $(q,v)$；动力学：$\dot q=v,\ M\dot v = f(q,v,t) + J_n^\top \lambda_n$.
- 几何：间隙 $\phi(q)\ge 0$（地面为 0），接触力 $\lambda_n\ge 0$。
- 互补：$0\le \lambda_n \perp \phi(q)\ge 0$。
- 若含摩擦，再加切向锥条件（见上节 CCP）。
“从 DVI 到离散子问题”的最小例
用固定步长 $\Delta t$ 做时间步进，把力积分成冲量 $\gamma$：
\[M v^{k+1} = M v^{k} + \Delta t\,f^k + J_n^\top \gamma_n + J_T^\top \gamma_T.\]把 $v^{k+1}$ 代回到“法向相对速度/间隙预测”里，就得到一步的互补/锥互补方程（NCP/CCP/SOCCP）；这一步就是你在引擎里每帧要解的代数子问题。 因此：DVI（连续） → 时间离散 → NCP/CCP（离散代数） → 数值求解（PGS/ADMM/APGD/牛顿/路径法）。
五、四者关系 & 选型心法
- DVI：是建模框架（动态 + 互补/锥），最贴合接触/冲击/摩擦的物理。
- NCP/CCP：是离散后每步落地的代数互补子问题（CCP 更一般，能覆盖摩擦锥）。
- QP：很多小子步/近似可化为凸QP（或“投影”），也可从 KKT 把 QP ↔ 互补问题互相改写。
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实现建议：
- 有“简单集合投影”（区间、球、二阶锥）时，优先用投影迭代（PGS/Projective Splitting/APGD），一步就是“算梯度 + 投影”。
- 有强耦合或高精度需要时，考虑基于牛顿/半平滑牛顿/路径法的 NCP/CCP 专用求解器。
- 子问题若自然就是“二次 + 线性约束”，可直接上 QP（OSQP、quadprog 等），或把它嵌作预条件/局部解算器。
六、再给一组“可手算”的迷你练习（巩固手感）
- QP 练习：
先解无约束最优 $x=(2,1)$，已满足约束 → 即为最优。若把右边线性项改为 $(-1,-1)^\top$，再解一次并比较。
- NCP 练习（两个接触点耦合的玩具）： 找 $(x_1,x_2)\ge 0$ 使 $f(x)=Ax+b\ge 0$、$x^\top f(x)=0$，其中
枚举“活跃集”（哪个分量为 0、哪个解等式）即可解出闭式解。
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CCP/二阶锥投影： 给 $\mu=0.6,\ \gamma_n=5,\ v_T=(4,3)$。求 $\gamma_T^\star$。 解：$|v_T|=5,\ \mu\gamma_n=3$ ⇒ $\gamma_T^\star=-3\cdot \frac{(4,3)}{5}=(-12/5,\ -9/5)$。
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DVI→一步离散（单法向）：
代入 $v^{k+1}$ 得单变量互补方程，设 $m=1,g=10,\Delta t=0.01,\ \phi^k=0$ 手算 $\gamma_n$ 与 $v^{k+1}$。